Qual a diferença entre gern e mögen?

A diferença entre gern e mögen está no que vem depois. Mögen é um verbo e vem com um substantivo ou um pronome: Ich mag dich (eu gosto de você). Gern é um advérbio, quer dizer “com prazer”, e acompanha outro verbo para dizer que você gosta de fazer aquilo: Ich spiele gern Schach (eu gosto de jogar xadrez). Em português, os dois viram “gostar”.

Mögen: gostar de alguém ou de algo

No presente, mögen é irregular: o singular se forma com mag.

ich mag
eu gosto

du magst
você gosta

er mag, sie mag, es mag
ele gosta, ela gosta

wir mögen
nós gostamos

ihr mögt
vocês gostam

sie mögen, Sie mögen
eles gostam, elas gostam; o senhor gosta, a senhora gosta

O que se gosta vem no caso acusativo, sem preposição: em português se diz “gostar de você”, e em alemão basta dich.

Ich mag dich.
Eu gosto de você.

Ich mag Fußball.
Eu gosto de futebol.

Er mag Saft.
Ele gosta de suco.

Ich mag Kinder.
Eu gosto de crianças.

Sie mag Schokoladeneis.
Ela gosta de sorvete de chocolate.

Gern: gostar de fazer algo

Para dizer que você gosta de fazer alguma coisa, conjugue o verbo da ação e coloque gern depois dele. Gerne é a mesma palavra, com o mesmo sentido.

Ich spiele gern Schach.
Eu gosto de jogar xadrez.

Ich schwimme gern.
Eu gosto de nadar.

Ich reise gern.
Eu gosto de viajar.

Ich spreche gern Deutsch.
Eu gosto de falar alemão.

Meine Mutter liest abends gern.
Minha mãe gosta de ler à noite.

Ich fahre gerne Rad, aber ich gehe nicht gerne zu Fuß.
Eu gosto de andar de bicicleta, mas não gosto de andar a pé.

Outros usos de gern

Com o verbo haben, gern haben quer dizer o mesmo que mögen:

Wir haben uns gern.
Nós gostamos um do outro.

Num pedido, gern deixa a frase mais educada:

Ich möchte jetzt gern nach Hause.
Eu gostaria de ir para casa agora.

E gern geschehen é uma resposta a quem agradece:

Vielen Dank für deine Hilfe! Gern geschehen!
Muito obrigado pela sua ajuda! De nada!

E mögen com outro verbo?

Mögen também aparece com um verbo no infinitivo, mas aí o sentido é de vontade, e a frase costuma ser negativa:

Ich mag heute nicht ins Kino gehen.
Hoje não estou com vontade de ir ao cinema.

Para dizer que você gosta de fazer algo, o natural é gern. E a forma möchte, de mögen, é o “gostaria” do pedido educado; ela aparece entre os verbos modais.

Sie möchte ein neues Abendkleid kaufen.
Ela gostaria de comprar um vestido de festa novo.

Fonte: Wiktionary